三、方差（variance）和标准差（standard deviation）

为了克服极差的缺点，需全面地考虑组内每个观察值的离散情况。因为组内每一观察值（亦称变量值）与总体均数的距离大小都会影响总体的变异度，故有人提出以各变量值离均差（X-μ）的平方和除以变量值的总个数N，来反映变异度大小，称为总体方差，用σ2示之。 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue044.jpg[alt][/alt][/img]公式(18.10) 由式可见，各个离均差平方后，原来的度量单位变成了平方单位。为了用原单位表示而将总体方差开方，称为总体标准差。 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue045.jpg[alt][/alt][/img]公式（18.11） 以上是总体方差和标准差。实际工作中经常得到的是样本资料，μ是未知的，只能用样本均数x来代替μ，用样本含量n代替N，按公式（18.11）算得的标准差常比σ小，美国统计学家W.S.Gosset提出用n-1代替n，求得样本标准差s，即 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue046.jpg[alt][/alt][/img]公式（18.12） 式中的n-1，在统计学上称为自由度（degree of freedom） 数学上可以证明离均差平方和Σ（X-x）2=ΣX2-（ΣX）2/n，故公式（18.2）可演变为： 直接法[img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue047.jpg[alt][/alt][/img]公式（18.13） 加权法[img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue048.jpg[alt][/alt][/img]公式（18.14） 方差与标准差适用于对称分布，特别是正态或近似正态分布资料。 例18.10 试分别计算例18.8中三组男孩体重资料的标准差。 甲组：n=5，ΣX=26=28+30+32+34=150 ΣX2=262+282+302+322+342=4540 按式（18.13）[img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue049.jpg[alt][/alt][/img] 乙组：n=5，ΣX=150，ΣX2=4590 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue050.jpg[alt][/alt][/img] 丙组：n=5,ΣX=150,ΣX2=4534 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue051.jpg[alt][/alt][/img] 以上计算表明：S丙＜S甲＜S乙亦即乙组的变量度最大，甲组次之，丙组最小。 例18.11 求表18-2中110名20岁健康男大学生身高的标准差。 由表18-2，已知Σf=110，ΣfX=19000，再用第（2）栏乘第（4）栏后相加得ΣfX2。如本例，ΣfX2=163×163+165×660+……+183×366=3283646代入式（18.14） [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yufangyixue/yufangyixue052.jpg[alt][/alt][/img]