二、相关系数的计算及假设检验
[b]（一）相关系数计算法[/b] 计算相关系数的基本公式为： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue156.jpg[alt]计算相关系数的基本公式[/alt][/img]（9.1） 式（9.1）中r为相关系数，∑（X-X）[SB]2[/SB]为X的离均差平方和，∑（Y-Y）[SB]2[/SB]为Y的离均差平方和，∑（X-X）（Y-Y）为X与Y的离均差乘积之和，简称离均差积之和，此值可正可负。以此式为基础计算相关系数的方法称积差法，在实际应用时式（9.1）中各离均差平方和（简称差方和）与积之和可化为 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue157.jpg[alt][/alt][/img] （9.2） 现举例说明计算相关系数的一般步骤： 例9.1 测定15名健康成人血液的一般凝血酶浓度（单位/毫升）及血液的凝固时间（秒），测定结果记录于表9.1第（2）、（3）栏，问血凝时间与凝血酶浓度间有无相关？ 1．绘图，将表9.1第（2）、（3）栏各对数据绘成散点图，见图9.9。 2．求出∑X、∑Y、∑X[SB]2[/SB]、∑Y[SB]2[/SB]、∑XY，见表9.1下方。 3，代入公式，求出r值。 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue158.jpg[alt]凝血时间与凝血酶浓度散点图及回归直线[/alt][/img] 图9.9 凝血时间与凝血酶浓度散点图及回归直线 表9.1 相关系数计算表| 受试者号 （1） | 凝血酶浓度(单位/毫升) X （2） | 凝血时间(秒) Y （3） |
| 1 | 1.1 | 14 |
| 2 | 1.2 | 13 |
| 3 | 1.0 | 15 |
| 4 | 0.9 | 15 |
| 5 | 1.2 | 13 |
| 6 | 1.1 | 14 |
| 7 | 0.9 | 16 |
| 8 | 0.9 | 15 |
| 9 | 1.0 | 14 |
| 10 | 0.9 | 16 |
| 11 | 1.1 | 15 |
| 12 | 0.9 | 16 |
| 13 | 1.1 | 14 |
| 14 | 1.0 | 15 |
| 15 | 0.8 | 17 |
| 合计 | 15.1 | 222 |
∑XY=221.7
∑X[SB]2[/SB]=15.41∑Y[SB]2[/SB]=3304 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue159.jpg[alt][/alt][/img] 本例的相关系数r=-0.9070，负值表示血凝时间随凝血酶浓度的增高而缩短；绝对值∣-0.9070∣表示这一关系的密切程度。至于此相关系数是否显著，则要经过下面的分析。 [b]（二）相关系数的假设检验[/b] 虽然样本相关系数r可作为总体相关系数ρ的估计值，但从相关系数ρ=0的总体中抽出的样本，计算其相关系数r，因为有抽样误差，故不一定是0，要判断不等于0的r值是来自ρ=0的总体还是来自ρ≠0的总体，必须进行显著性检验。检验假设是ρ=0，r与0的差别是否显著要按该样本来自ρ=0的总体概率而定。如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。 由于来自ρ-0的总体的所有样本相关系数呈对称分布，故r的显著性可用t检验来进行。本例r=-0.9070，进行t检验的步骤为： 1．建立检验假设，H[XB]0[/XB]：ρ=0，H[XB]1[/XB]：ρ≠0，α=0.01 2．计算相关系数的r的t值： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue160.jpg[alt][/alt][/img]（9.3） 3．查t值表作结论 ν=n-2=15-2=13 根据专业知识知道凝血酶浓度与凝血时间之间不会呈正相关，故宜用单侧界限，查t值表得 t[XB]0.01,13[/XB]=2.650 今∣t[XB]r[/XB]∣>t[XB]0.01,13[/XB]，P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H[XB]0[/XB]，接受H[XB]1[/XB]，故可认为凝血时间的长短与血液中酶浓度有负相关。 为简化t[XB]r[/XB]检验的计算过程，数理统计工作者根据t分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并列成相关系数界值表（见附表11）。故求相关系数后，只需查表就可知道该r值是否显著，而不必再计算t[XB]r[/XB]值。 r的显著性界限为 |r|<R[XB]0.05,[/XB]ν P>0.05 相关不显著 r[XB]0.05,,[/XB]≤|r|<[XB]r0.01,,[/XB] 0.05≥P>0.01 在α=0.05水准上相关显著 |r|≥r[XB]0.01,,[/XB] P≤0.01 在α=0.01水准上相关显著 例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P[SB]（1）[/SB]的界值，得： r[XB]0.05,13[/XB]=0.441r[XB]0.01,13[/XB]=0.592 现r=-0.9070,∣r∣>r[XB]0.01,13[/XB],P<0.01,按α=0.01水准，拒绝H[XB]O[/XB],接受H[XB]1[/XB]。认为ρ≠0，说明凝血时间的长短与血液中凝血酶浓度有负相关。结论与计算所得一致。 相关系数的显著性与自由度的大小有关，如n=3,ν=1时，虽r=-0.9070，却为不显著；若ν=400时，即使r=0.1000，亦为显著。因此不能只看r的值，不考虑ν就下结论。