一、正态性检验

有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述资料的集中或离散情况，用正态分布法确定正常值范围及用t检验两均数间相差是否显着等，因此在用这些方法前，需考虑进行正态性检验。 正态分布的特征是对称和正态峰。分布对称时众数和均数密合，若均数-众数>0，称正偏态。因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长，故又称右偏态；若均数-众数<0称负偏态。因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长，故又称左偏态，见图7.1(a)。 正态曲线的峰度叫正态峰，见图7.1(b)中的虚线，离均数近的或很远的变量值都较正态峰的多的称尖峭峰，离均数近或很远变量值都较正态峰的少的称平阔峰。 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue117.jpg[alt]频数分布的偏度和峰度[/alt][/img] 图7.1　频数分布的偏度和峰度 正态性检验的方法有两类。一类对偏度、峰度只用一个指标综合检验，另一类是对两者各用一个指标检验，前者有W法、D法、正态概率纸法等，后者有动差法亦称矩法。现仅将W法与动差法分述于下； 1．W法　此法宜用于小样本资料的正态性检验，尤其是n≤50时，检验步骤如下； （1）将n个变量值X[XB]i[/XB]从小至大排队编秩。 X[XB]1[/XB]<X[XB]2[/XB]<……<XN<p 见表7.5第（1）栏，表中第（2）、第（3）栏是变量值，第（2）栏由上而下从小至大排列，第（3）栏由下而上从小至大排列。第（4）栏是第（3）栏与第（2）栏之差。 （2）由附表5按n查出a[XB]in[/XB]系数列入表7.5第（5）栏，由于当n为奇数时，对应于中位数秩次的a[XB]in[/XB]为0，所以中位数只列出，不参加计算。第（6）栏是第（5）栏与第（4）栏的乘积。 （3）按式（7.8）计算W值 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue118.jpg[alt][/alt][/img]（7.8） 式中分子的∑，当n是偶数时，为 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue119.jpg[alt][/alt][/img]的缩写，当n是奇数时为 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue120.jpg[alt][/alt][/img]的缩写，表7.5 第（6）栏的合计平方后即为分子。分母按原始资料计算。 （4）查附表6得P值，作出推断结论，按n查得W（n，α），α是检验前指定的检验水准，若W>W（n，α）则在α水准上按受H[XB]0[/XB]，资料来自正态分布总体，或服从正态分布；若W≤W（n，α），则在α水准上拒绝H[XB]0[/XB]，接受H[XB]1[/XB]，资料非正态。 例7.8　测得20例40—49岁健康人右侧腓总神经的传导速度（m/sec）如表7.5第（2）、第（3）栏，试检验此资料是否服从正态分布。 H[XB]0[/XB]：总体服从正态分布 H[XB]1[/XB]：总体为非正态分布 α=0.05 计算表7.5各栏。 表7.5　W法正态性检验计算表

秩号	传导速度（m/sec）
i (1)	X[XB]i [/XB](2)	X[XB]a-i+1 [/XB](3)	X[XB]a-i+1[/XB]-X[XB]i [/XB](4)=(3)-(2)	a[XB]in [/XB](5)	a[XB]in[/XB](X[XB]a-i+1[/XB]-X[XB]i[/XB]) (6)=(5)(4)
1	40.7	56.7	16.0	0.4734	7.5744
2	40.9	56.0	15.1	0.3211	4.8486
3	46.0	55.0	9.0	0.2565	2.3085
4	47.6	54.9	7.3	0.2085	1.5221
5	47.7	53.5	5.8	0.1686	0.9779
6	48.3	52.9	4.6	0.1334	0.6136
7	49.1	51.8	2.7	0.1013	0.2735
8	50.0	50.9	0.9	0.0711	0.0640
9	50.1	50.9	0.8	0.0422	0.0338
10	50.2	50.8	0.6	0.0140	0.0084
18.2240∑a[XB]in[/XB](X[XB]a-i+1[/XB]-X[XB]i[/XB])

∑X[XB]i[/XB]=1004　　∑X[XB]i[/XB][SB]2[/SB]=50756.16　　∑(X-x)[SB]2[/SB]=355.36 代入式（7.8） W=（18.2240）[SB]2[/SB]/355.36=0.9347 查附表6，n=20，α=0.05，W[XB]（20，0.05）[/XB]=0.905 W>W[XB]（20，0.05）[/XB]　P>0.1，在α=0.05水准上接受H[XB]0[/XB]，该资料服从正态分布。 2．动差法　又称矩法。既能用于小样本资料，亦可用于大样本资料的正态性检验。本法运用数学上三级动差和四组动差分别组成偏度系数与峰度系数，然后检验资料中否服从正态分布。当频数分布为正态时，偏度系数与峰度系数分别等于0，但从正态分布总体中抽出的随机样本，由于存在抽样误差，其样本偏度系数g[XB]1[/XB]与样本峰度系数g[XB]2[/XB]不一定为0，为此，需检验g[XB]1[/XB]、g[XB]2[/XB]与0的相差是否有显著性。其检验假设为①偏度系数等于O，即频数分布对称；②峰度系数等于0，即为正态峰。 偏度系数g[XB]1[/XB]、峰度系数g[XB]2[/XB]的公式见式（7.9）与（7.11）。当用频数表资料计算时可用式（7.10）与式（7.12），式中n为例数，f为频数。 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue121.jpg[alt][/alt][/img] [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue122.jpg[alt][/alt][/img]（7.10） [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue123.jpg[alt][/alt][/img]（7.11） [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue124.jpg[alt][/alt][/img]（7.12） g[XB]1[/XB]、g[XB]2[/XB]的抽样误差分别为S[XB]g1[/XB]与S[XB]g2[/XB]，见式（7.13）与式（7.14） [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue125.jpg[alt][/alt][/img](7.13) [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue126.jpg[alt][/alt][/img](7.14) 假设检验用u检验，其公式为 u[XB]1[/XB]=g[XB]1[/XB]/S[XB]g1[/XB]　　　　　　　　(7.15) u[XB]2[/XB]=g[XB]2[/XB]/S[XB]g2[/XB]　　　　　　　　(7.16) u的显著性界限为 ∣u∣<1.96P>0.05在α=0.05的水准上接受H[XB]0[/XB]。 1.96≤∣u∣<2.580.05≥P>0.01在α=0.05的水准上拒绝H[XB]0[/XB]。 ∣u∣≥2.58P≤0.01在α=0.01的水准上拒绝H[XB]0[/XB]。 例7.9　用动差法检验例7.8的资料是否服从正态分布。 1．H[XB]0[/XB]：频数分布对称，H[XB]1[/XB]：频数分布不对称。 2．H[XB]0[/XB]：频数分布为正态峰，H[XB]1[/XB]：频数分布不是正态峰。 α=0.05 ∑（X-x ）[SB]2[/SB]=355.36，∑（X-x ）[SB]3[/SB]=-1032.45 ∑（X-x ）[SB]4[/SB]=20150.4316　n=20 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue127.jpg[alt][/alt][/img] [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue128.jpg[alt][/alt][/img] u[XB]2[/XB]=0.6221/0.9924=0.627　P>0.20 在α=0.05的水准上接受H[XB]0[/XB]，频数分布对称（P>0.05），并为正态峰（P>0.20）。因此可认为该资料服从正态分布。