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三、直线回归方程的假设检验

[b]（一）样本回归系数的假设检验[/b] 根据例9.1资料求得的是样本回归系数b，有抽样误差的，需作假设检验，检验其是否是从回归系数为0的假设总体（即β=0）中随机抽得的，也就是检验b与0的差别有无显着性。如果差别有显着性，可认为X与Y间有直线回归存在。 样本回归系数的假设检验亦用t检验。 H[XB]0[/XB]：β=0即Y的变化与X无关； H[XB]1[/XB]：β≠0。 计算公式为： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue163.jpg[alt][/alt][/img]　（9.7） 分母S[XB]b[/XB]是样本回归系数b的标准误，计算公式为： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue164.jpg[alt][/alt][/img]　（9.8） 分子Sy.x为各观察值Y距回归线的标准差，即当X的影响被扣去以后Y方面的变异，可按下式计算： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue165.jpg[alt][/alt][/img]　（9.9） 式中∑（Y- [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue161.jpg[alt][/alt][/img]）[SB]2[/SB]为估计误差平方和，常用下式计算： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue166.jpg[alt][/alt][/img]（9.10） 根据数理统计的理论，同一批资料计算所得t[XB]r[/XB]与t[XB]b[/XB]是相同的，即t[XB]r[/XB]=t[XB]b[/XB]。处理资料时可检验相关显著性代替其回归显著性。 由于例9.1资料的r在α=0.01水准上显著，故可判断样本回归系数-8.5045与0的相差有显著性，说明存在凝血时间随凝血酶浓度变化而变化的回归关系。 [b]（二）两样本回归系数相差的假设检验[/b] 若有两个可以比较的样本，它们的回归系数分别为b[XB]1[/XB]与b[XB]2[/XB]，经检验都为显著，回归系数的标准误分别为S[XB]b1[/XB]和S[XB]b2[/XB]。b[XB]1[/XB]与b[XB]2[/XB]相差的显著性也可用t检验法检验，其计算公式为： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue167.jpg[alt][/alt][/img]（9.11） ν=n[XB]1[/XB]+n[XB]2[/XB]-4 式（9.11）中S[XB]b1-b2[/XB]为两样本回归系数之差的标准误，其计算公式为： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue168.jpg[alt][/alt][/img](9.12) 式（9.12）中S[SB]2[/SB][XB]C[/XB]为两样本回归系数的合并方差，其计算公式为： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue169.jpg[alt][/alt][/img](9.13) 式（9.13）中∑（Y- [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue161.jpg[alt][/alt][/img]）[SB]2[/SB]为估计误差平方和，即观察值Y与估计值 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue161.jpg[alt][/alt][/img]的差数（Y- [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue161.jpg[alt][/alt][/img]）的平方之和。其计算公式见公式（9.10）， 现以实例说明两样本回归系数t检验的步骤。 例9.2　表9.2资料为同一批白蛋白于38℃与25℃条件下，不同时间（分）的凝固百分比，问由此而得的两样本回归系数相差是否显著？ 表9.2　白蛋白在两种温度下各不同时间的凝固百分比
时间（分）凝固百分比（%）
X25℃
Y[XB]1[/XB]		38℃
Y[XB]2[/XB]
37.212.0
618.430.0
930.044.0
1240.053.0
1549.066.0
1858.081.5
合计　63202.6286.5
本例图示见图9.10，本例计算见图下： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue170.jpg[alt][/alt][/img] 图9.10　白蛋白在两种温度下各不相同时间的凝固百分比 r[XB]1[/XB]=0.998(P<0.01) b[XB]1[/XB]=3.389∑(Y[XB]1[/XB]-[img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue161.jpg[alt][/alt][/img][XB]1[/XB])[SB]2[/SB]=5.7927n[XB]1[/XB]=6 r[XB]2[/XB]=0.996(P<0.01) b[XB]2[/XB]=4.424∑(Y[XB]2[/XB]-[img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue161.jpg[alt][/alt][/img][XB]2[/XB])[SB]2[/SB]=24.5857n[XB]2[/XB]=6 ∑(X[XB]1[/XB]-X[XB]1[/XB])[SB]2[/SB]=∑(X[XB]２[/XB]-X[XB]２[/XB])[SB]2[/SB]=157.5000 1．H[XB]0[/XB]：β[XB]1[/XB]-β[XB]2[/XB]=0 H[XB]1[/XB]：β[XB]1[/XB]-β[XB]2[/XB]≠0 α=0.01 2．计算t值： [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue170.jpg[alt][/alt][/img] 3．查t值表作结论：以ν=6+6-4=8查t值表，得 t[XB]0.01,8[/XB]=2.355,今∣t∣>t[XB]0.01,8[/XB],故P<0.01。 4．判断结果：按α=0.01水准，拒绝H[XB]0[/XB]，接受H[XB]1[/XB]，故两个回归系数差别显著。说明两条回归直线的斜率不同，两条回归直线中X对Y的影响规律不一致。现b[XB]2[/XB]>b[XB]1[/XB]，说明随着时间的增加，蛋白质在38℃时凝固百分比的增加量比在25℃时高。