三、算术均数与几何均数的意义及计算方法

[b]（一）算术均数[/b]　简称均数。设观察了n个变量值X[XB]1[/XB]，X[XB]2[/XB]，……Xa，一般可直接用式（4.6）求样本均数X。 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue047.jpg[alt][/alt][/img] 式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成 X=１/n∑X　（4.6) 例4.318-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量（g）如下，求心重的均数。

350	320	260	380	270	235	285	300	300	200
275	280	290	310	300	280	300	310	310	320

X＝1/20（350+320+…+320）＝5875/20＝293.75g 样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。（1）∑（X-X）=0，（2）∑（X-X）[SB]2[/SB]为最小，前者读者 可自证，后者证明如下： 设：a≠X，则a＝X±d　d>0 ∑(X-a)[SB]2[/SB]＝∑(X-X±d)[SB]2[/SB] [SB]　　　＝[/SB]∑[(X-X)±d][SB]2[/SB] [SB]　[/SB][SB]＝[/SB]∑(X-X)[SB]2[/SB]±2d∑(X-X)+Nd[SB]2[/SB] 从第一个特性知∑(X－X）＝0，因此2d∑（X－X）＝0， 得 ∑（X－a）[SB]2[/SB]＝∑（X－X）[SB]2[/SB]＋Nd[SB]2[/SB] N是例数，不可能为负，所以Nd[SB]2[/SB]也不会是负数。 ∑（X－a）[SB]2[/SB]＞∑（X－X）[SB]2[/SB]，∑（X－X）[SB]2[/SB]为最小。 当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数c ，然后用式（4.7）计算，可提高均数的精度。 X＝C＋1/n×（X[XB]i[/XB]－C）　　　　　　（4.7） 若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式（4.8） X＝X　[XB]n-1[/XB]+1/n×（X[XB]n[/XB]-X[XB]n-1[/XB][XB]　　　　[/XB](4.8) 例4.4 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X[XB]１０[/XB]=292.37,又测得X[XB]20[/XB]=320，求X[XB]20[/XB]。 X[XB]20[/XB]＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g 若相同的变量值个数较多，或对频数表资料求均数时，可用式（4.9）计算X。 [XB] [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue048.jpg[alt][/alt][/img][/XB][XB]　[/XB]或简写为X＝1/n∑fX　(4.9) 式中K为不同变量值个数，或频数表中的组段数。Xi为第i个不同的变量值或频数表上的组中值，fi为第i个变量值的频数。 例4.5 计算表4.5菌痢治愈者的平均住院天数。 X＝1/157（3×2.5+38×7.5……+1×77.5）=17.9天 式（4.9）中某变量值的频数愈大，则该变量值对X的影响亦愈大。因此，频数又称权数，这样 计算出来的均数又叫加权均数。亦有根据变量值的重要性进行加权，计算加权均数的。 [b]（二）几何均数[/b]　设n个变量值X[XB]1[/XB]，X[XB]2[/XB]，……，Xa呈对数正态分布，其几何均数G为 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue049.jpg[alt][/alt][/img] 式中∏为连乘的符号。当变量值较多时，乘积很大，计算不便，常改用下式计算 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue050.jpg[alt][/alt][/img](4.10) 或　　　 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue050.jpg[alt][/alt][/img](4.11) 式中符号含义同式（4.6）与式（4.9）。 例4.6　求下表中麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度。 表4.6　52例麻疹患者恢复期血清麻疹病毒
特异性IgG荧光抗体滴度

IgG滴度倒数	例数
40	3
80	22
160	17
320	9
640	0
1280	1

G=log[SB]-1[/SB][1/52×(3log40+22log80+…+log1280）]=129.3 麻疹患者恢复期血清麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度为1:129。 式（4.10）包含三个步骤，（1）令X[XB]i[/XB]=logX[XB]i[/XB]，则式（4.10）可写成 [img]https://baike.zhuayao.net/Uploads/zyzy/lilunshuji/yixuetongjixue/yixuetongjixue051.jpg[alt][/alt][/img]；(2)1/n∑X[XB]i[/XB] 即对数数值的均数X；（3）将X取反对数即得几何均数1og[SB]-1[/SB]X=G。这里不难理解，若将这种资料作对数变换后，即可用式（4.6）至式(4.9)的各式计算均数，得到结果后再取反对数即得几何均数。读者可自已验证。